Il dilemma del prigioniero

Siete stati incarcerati in una cella di sicurezza sulla base di alcune prove raccolte a vostro carico, non potete parlare con il vostro complice e non avete possibilità di accordarvi sulle eventuali confessioni. Se nessuno di voi confessa, vi daranno una pena lieve (un anno); se confessate e il vostro compagno no, voi sarete liberi e lui farà 10 anni e vale anche il contrario; se entrambi confessate, starete in prigione per 5 anni. L’ideale per voi è tacere, però non sapete cosa farà il vostro correo e quindi conoscendo le maglie della giustizia decidete di parlare. Questa soluzione prende il nome di equilibrio di Nash: “la strategia che ottimizza il payoff date le scelte degli altri giocatori, da cui nessuno vuole spostarsi senza prendere accordi preventivi” e questo tipo di equilibrio viene chiamato anche non “cooperativo”. Tale soluzione però non è Pareto-ottima (si dice Pareto-ottimo il punto di equilibrio che non è possibile modificare senza peggiorare la situazione di uno dei soggetti coinvolti), solo l’equilibrio cooperativo garantisce l’efficienza secondo Pareto: se riuscissimo a comunicare con il nostro complice e accordarci, nessuno di noi parlerebbe e dovremmo scontare al massimo un anno di carcere. Questo che vi ho appena illustrato è il dilemma del prigioniero.

La Teoria dei Giochi – nascita e brevi cenni

Nata ufficialmente nel 1944 grazie ad un libro di Morgerstern e Von Neumann, “Theory of Games and Economic Behavior”, la teoria dei giochi trova in John Nash uno dei suoi massimi esponenti. Nash, bizzarro professore e matematico, premio Nobel per l’economia nel 1994, passò alla storia per aver contribuito con le proprie idee a questa branca di studi e aver formulato le condizioni del suo omonimo equilibrio. Nel film biografico “A beautiful mind”, che portò alla ribalta la storia di questo personaggio, si accenna a come l’idea di razionalità economica di Adam Smith venga smentita dallo stesso Nash: il comportamento ottimizzante per il singolo non necessariamente è ottimizzante per il gruppo.

La teoria dei giochi è uno strumento potente per rappresentare situazioni di conflitto tipiche dell’economia: “cosa succede se investo x in una campagna pubblicitaria e il mio competitore principale fa lo stesso?” Ha un formalismo essenziale, le strategie vengono rappresentate in tabelle a doppia entrata chiamate “matrici dei pay off” o in grafi ad albero, detti giochi in forma estesa. Ogni stadio di scelta viene chiamato “gioco”, i giochi possono essere “one shot” o ripetuti, ripetuti un numero finito o infinito di volte, contemporanei o sequenziali, cooperativi o non cooperativi, ad informazione completa o meno, a somma zero – costante o non costante. Le strategie possono essere dominanti, se portano al massimo pay off indipendentemente dalla mossa degli altri, o dominate, se portano al minimo pay off, o nessuna delle due.
Come faccio a scegliere la strategia migliore?
Posso usare la strategia del massimo: per ogni scelta del mio avversario analizzo cosa è meglio fare e l’equilibrio è dato dalla coppia di strategie ottimali per entrambi i giocatori. In un gioco posso avere più di un equilibrio di Nash o non averne neanche uno. Nella sua tesi di dottorato John Nash dimostrò che in un gioco a strategie miste, ovvero in un gioco dove io posso attribuire una probabilità da 0 ad 1 ad ogni strategia attuabile è sempre possibile individuare un equilibrio di Nash.
Von Neumann teorizzò l’algoritmo “maxmin” per individuare una serie di strategie ottimali. Per ogni azione si individua il pay off minimo indipendentemente dalla scelta dell’avversario e poi si sceglie la strategia che massimizza il pay off minimo.
Questo tipo di strategia può essere associata ad una visione pessimistica del mondo: io credo che il mio avversario farà di tutto per farmi perdere, considero perciò i pay off peggiori e cerco di limitare i danni scegliendo l’azione che massimizza il risultato, da qui maxmin.

Applicazione in economia

Come posso utilizzare la teoria dei giochi in economia?
Uno fra gli usi più frequenti di questo strumento attiene alla modellizzazione dei contesti competitivi di duopolio. Le strategie dei concorrenti vengono inserite all’interno della matrice dei pay off e ciascuno sceglie la propria azione ottimizzante; il problema principale di questa metodologia però è costituito essenzialmente dall’attribuire un valore economico alle scelte fatte nell’ambito produttivo, commerciale, finanziario e dall’assegnare una probabilità alle azioni dei concorrenti. Per questa tipologia di valutazione possiamo utilizzare il sistema delle opzioni reali, di cui vi parlerò prossimamente.